这里是道长的科普频道🍑！

　　正文里🎌，我们的主角王崎第二次使用的金手指🍔，是来自地球的大数学家大卫·希尔伯特的希尔伯特空间⛄。

　　由于不想再正文水字数🌌，所以贫道将这个数学方法的科普贴在这里❄！有兴趣的书友不妨进来一看哦~

　　阿尔伯特空间并不是确实存在的🐚，而是抽象的🎡、用于演算的工具🍏，即相空间🐞。

　　每个读过中学数学的朋友应该都建立过二维的笛卡儿平面👙：画一条x轴和一条与其垂直的y轴🌺，并加上箭头和刻度【也就是通常所说的平面直角坐标系】⏯。在这样一个平面系统里✳，每一个点都可以用一个包含两个变量的坐标（x,y）来表示👧，例如（1,2）⏩，或者（4.3,5.4）🈯，这两个数字分别表示该点在x轴和y轴上的投影✡。当然🏣，并不一定要使用直角坐标系统🍻，也可以用极坐标或者其他坐标系统来描述一个点🏤，但不管怎样🏌，对于2维平面来说🍘，用两个数字就可以唯一地指明一个点了🐯。如果要描述三维空间中的一个点🏻，那么我们的坐标里就要有3个数字🐤，比如（1,2,3）🐒，这3个数字分别代表该点在3个互相垂直的维度方向的投影🏂。

　　让我们扩展一下思维⭕：假如有一个四维空间中的点🐙，我们又应该如何去描述它呢？显然我们要使用含有4个变量的坐标🐣，比如（1,2,3,4）👉，如果我们用的是直角坐标系统〽，那么这4个数字便代表该点在4个互相垂直的维度方向的投影♍，推广到n维⏲，情况也是一样🍇。诸位大可不必费神在脑海中努力构想4维或者11维空间是如何在4个乃至11个方向上都互相垂直的♟，事实上这只是我们在数学上构造的一个假想系统而已🍩。

　　我们所关心的是👚：n维空间中的一个点可以用n个变量来唯一描述🏅，而反过来❄，n个变量也可以用一个n维空间中的点来涵盖⛔。

　　现在让我们回到物理世界🌼，我们如何去描述一个普通的粒子呢？在每一个时刻t🍎，它应该具有一个确定的位置坐标（q1,q2,q3）🍼，还具有一个确定的动量p🉑。动量也就是速度乘以质量🍒，是一个矢量⬜，在每个维度方向都有分量✂，所以要描述动量p还得用3个数字🍅：p1👖，p2和p3🌁，分别表示它在3个方向上的速度👒。总而言之🌒，要完全描述一个物理质点在t时刻的状态🌃，我们一共要用到6个变量🍊。而我们在前面已经看到了🎡，这6个变量可以用6维空间中的一个点来概括👡，所以用6维空间中的一个点🏫，我们可以描述1个普通物理粒子的经典行为🎊。我们这个存心构造出来的高维空间就是系统的相空间⤴。

　　假如一个系统由两个粒子组成👕，那么在每个时刻t这个系统则必须由12个变量来描述了🏕。但同样✝，我们可以用12维空间中的一个点来代替它✝。对于一些宏观物体🌬，比如一只猫⚡，它所包含的粒子可就太多了🆑，假设有n个吧🏨，不过这不是一个本质问题♒，我们仍然可以用一个6n维相空间中的质点来描述它🌷。这样一来⛷，一只猫在任意一段时期内的活动其实都可以等价为6n空间中一个点的运动（假定组成猫的粒子数目不变）♌。我们这样做并不是吃饱了饭太闲的缘故🏜，而是因为在数学上🌙，描述一个点的运动🌒，哪怕是6n维空间中的一个点🍤，也要比描述普通空间中的一只猫来得方便🌄。在经典物理中🐥，对于这样一个代表了整个系统的相空间中的点🏓，我们可以用所谓的哈密顿方程去描述👀，并得出许多有益的结论🌦。

　　——部分选自曹天元《量子物理史话》

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