这里是道长的科普频道🎺！

　　正文里🎴，我们的主角王崎第二次使用的金手指🎀，是来自地球的大数学家大卫·希尔伯特的希尔伯特空间🍰。

　　由于不想再正文水字数🏨，所以贫道将这个数学方法的科普贴在这里⛹！有兴趣的书友不妨进来一看哦~

　　阿尔伯特空间并不是确实存在的🈹，而是抽象的🉐、用于演算的工具🐠，即相空间🐧。

　　每个读过中学数学的朋友应该都建立过二维的笛卡儿平面🐲：画一条x轴和一条与其垂直的y轴🏥，并加上箭头和刻度【也就是通常所说的平面直角坐标系】🎺。在这样一个平面系统里🈹，每一个点都可以用一个包含两个变量的坐标（x,y）来表示🏯，例如（1,2）🏃，或者（4.3,5.4）👧，这两个数字分别表示该点在x轴和y轴上的投影🐐。当然🏳，并不一定要使用直角坐标系统🍬，也可以用极坐标或者其他坐标系统来描述一个点♊，但不管怎样🅰，对于2维平面来说🌁，用两个数字就可以唯一地指明一个点了👖。如果要描述三维空间中的一个点👲，那么我们的坐标里就要有3个数字🌎，比如（1,2,3）♏，这3个数字分别代表该点在3个互相垂直的维度方向的投影✨。

　　让我们扩展一下思维✨：假如有一个四维空间中的点✂，我们又应该如何去描述它呢？显然我们要使用含有4个变量的坐标⛲，比如（1,2,3,4）🐼，如果我们用的是直角坐标系统🍬，那么这4个数字便代表该点在4个互相垂直的维度方向的投影👠，推广到n维☔，情况也是一样🈴。诸位大可不必费神在脑海中努力构想4维或者11维空间是如何在4个乃至11个方向上都互相垂直的🍽，事实上这只是我们在数学上构造的一个假想系统而已🎾。

　　我们所关心的是⛺：n维空间中的一个点可以用n个变量来唯一描述🏆，而反过来❤，n个变量也可以用一个n维空间中的点来涵盖👣。

　　现在让我们回到物理世界♿，我们如何去描述一个普通的粒子呢？在每一个时刻t🎎，它应该具有一个确定的位置坐标（q1,q2,q3）👜，还具有一个确定的动量p🏯。动量也就是速度乘以质量🎌，是一个矢量✨，在每个维度方向都有分量🐟，所以要描述动量p还得用3个数字🏂：p1🌠，p2和p3🏨，分别表示它在3个方向上的速度✈。总而言之🏗，要完全描述一个物理质点在t时刻的状态🅾，我们一共要用到6个变量🏌。而我们在前面已经看到了✖，这6个变量可以用6维空间中的一个点来概括🏤，所以用6维空间中的一个点✴，我们可以描述1个普通物理粒子的经典行为🐐。我们这个存心构造出来的高维空间就是系统的相空间✅。

　　假如一个系统由两个粒子组成👍，那么在每个时刻t这个系统则必须由12个变量来描述了🌇。但同样🐄，我们可以用12维空间中的一个点来代替它🎃。对于一些宏观物体🈹，比如一只猫🆓，它所包含的粒子可就太多了🌴，假设有n个吧🐶，不过这不是一个本质问题🍙，我们仍然可以用一个6n维相空间中的质点来描述它🐡。这样一来♏，一只猫在任意一段时期内的活动其实都可以等价为6n空间中一个点的运动（假定组成猫的粒子数目不变）🌅。我们这样做并不是吃饱了饭太闲的缘故🍆，而是因为在数学上🐱，描述一个点的运动🎀，哪怕是6n维空间中的一个点👩，也要比描述普通空间中的一只猫来得方便🎯。在经典物理中✍，对于这样一个代表了整个系统的相空间中的点🌌，我们可以用所谓的哈密顿方程去描述🌇，并得出许多有益的结论🃏。

　　——部分选自曹天元《量子物理史话》

本章未完，点击下一页继续阅读