这里是道长的科普频道🐯！

　　正文里♍，我们的主角王崎第二次使用的金手指♍，是来自地球的大数学家大卫·希尔伯特的希尔伯特空间🍔。

　　由于不想再正文水字数🐡，所以贫道将这个数学方法的科普贴在这里㊙！有兴趣的书友不妨进来一看哦~

　　阿尔伯特空间并不是确实存在的🌚，而是抽象的⏺、用于演算的工具🐇，即相空间⏫。

　　每个读过中学数学的朋友应该都建立过二维的笛卡儿平面♒：画一条x轴和一条与其垂直的y轴🐠，并加上箭头和刻度【也就是通常所说的平面直角坐标系】🌀。在这样一个平面系统里⛸，每一个点都可以用一个包含两个变量的坐标（x,y）来表示🏃，例如（1,2）🌌，或者（4.3,5.4）🍅，这两个数字分别表示该点在x轴和y轴上的投影🍫。当然🍻，并不一定要使用直角坐标系统🌯，也可以用极坐标或者其他坐标系统来描述一个点🍮，但不管怎样🍹，对于2维平面来说✖，用两个数字就可以唯一地指明一个点了🎶。如果要描述三维空间中的一个点🎎，那么我们的坐标里就要有3个数字🌅，比如（1,2,3）🏇，这3个数字分别代表该点在3个互相垂直的维度方向的投影🍾。

　　让我们扩展一下思维🌋：假如有一个四维空间中的点🏏，我们又应该如何去描述它呢？显然我们要使用含有4个变量的坐标⚽，比如（1,2,3,4）🏩，如果我们用的是直角坐标系统👞，那么这4个数字便代表该点在4个互相垂直的维度方向的投影🎺，推广到n维🌘，情况也是一样🐒。诸位大可不必费神在脑海中努力构想4维或者11维空间是如何在4个乃至11个方向上都互相垂直的🌳，事实上这只是我们在数学上构造的一个假想系统而已❕。

　　我们所关心的是🏳：n维空间中的一个点可以用n个变量来唯一描述👞，而反过来✂，n个变量也可以用一个n维空间中的点来涵盖⏺。

　　现在让我们回到物理世界❄，我们如何去描述一个普通的粒子呢？在每一个时刻t🈺，它应该具有一个确定的位置坐标（q1,q2,q3）🎑，还具有一个确定的动量p✉。动量也就是速度乘以质量🎾，是一个矢量⬛，在每个维度方向都有分量👜，所以要描述动量p还得用3个数字➕：p1⚪，p2和p3⛑，分别表示它在3个方向上的速度🌽。总而言之🐃，要完全描述一个物理质点在t时刻的状态⭕，我们一共要用到6个变量🆔。而我们在前面已经看到了🌸，这6个变量可以用6维空间中的一个点来概括🏤，所以用6维空间中的一个点🌚，我们可以描述1个普通物理粒子的经典行为🌤。我们这个存心构造出来的高维空间就是系统的相空间⌛。

　　假如一个系统由两个粒子组成⛓，那么在每个时刻t这个系统则必须由12个变量来描述了🎲。但同样👨，我们可以用12维空间中的一个点来代替它👭。对于一些宏观物体🐂，比如一只猫☕，它所包含的粒子可就太多了✳，假设有n个吧🎡，不过这不是一个本质问题⏯，我们仍然可以用一个6n维相空间中的质点来描述它🎲。这样一来⛏，一只猫在任意一段时期内的活动其实都可以等价为6n空间中一个点的运动（假定组成猫的粒子数目不变）🎹。我们这样做并不是吃饱了饭太闲的缘故🆎，而是因为在数学上🍮，描述一个点的运动🎁，哪怕是6n维空间中的一个点⛩，也要比描述普通空间中的一只猫来得方便🌧。在经典物理中🌘，对于这样一个代表了整个系统的相空间中的点🎩，我们可以用所谓的哈密顿方程去描述🌨，并得出许多有益的结论🆘。

　　——部分选自曹天元《量子物理史话》

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