这里是道长的科普频道🌜！

　　正文里♉，我们的主角王崎第二次使用的金手指🎦，是来自地球的大数学家大卫·希尔伯特的希尔伯特空间🌯。

　　由于不想再正文水字数🌲，所以贫道将这个数学方法的科普贴在这里🍶！有兴趣的书友不妨进来一看哦~

　　阿尔伯特空间并不是确实存在的🎺，而是抽象的🐆、用于演算的工具🍽，即相空间🌓。

　　每个读过中学数学的朋友应该都建立过二维的笛卡儿平面♟：画一条x轴和一条与其垂直的y轴🌤，并加上箭头和刻度【也就是通常所说的平面直角坐标系】🏿。在这样一个平面系统里🏒，每一个点都可以用一个包含两个变量的坐标（x,y）来表示🎽，例如（1,2）🎵，或者（4.3,5.4）⏱，这两个数字分别表示该点在x轴和y轴上的投影🐰。当然✂，并不一定要使用直角坐标系统⭐，也可以用极坐标或者其他坐标系统来描述一个点🏮，但不管怎样🎬，对于2维平面来说👯，用两个数字就可以唯一地指明一个点了🍗。如果要描述三维空间中的一个点🏤，那么我们的坐标里就要有3个数字🍭，比如（1,2,3）👏，这3个数字分别代表该点在3个互相垂直的维度方向的投影🏌。

　　让我们扩展一下思维🏃：假如有一个四维空间中的点⭕，我们又应该如何去描述它呢？显然我们要使用含有4个变量的坐标🍇，比如（1,2,3,4）〰，如果我们用的是直角坐标系统🐠，那么这4个数字便代表该点在4个互相垂直的维度方向的投影🆓，推广到n维🐊，情况也是一样🐅。诸位大可不必费神在脑海中努力构想4维或者11维空间是如何在4个乃至11个方向上都互相垂直的🍯，事实上这只是我们在数学上构造的一个假想系统而已🌎。

　　我们所关心的是☕：n维空间中的一个点可以用n个变量来唯一描述🌰，而反过来👣，n个变量也可以用一个n维空间中的点来涵盖🍎。

　　现在让我们回到物理世界🐨，我们如何去描述一个普通的粒子呢？在每一个时刻t🐈，它应该具有一个确定的位置坐标（q1,q2,q3）🎬，还具有一个确定的动量p🎡。动量也就是速度乘以质量🍓，是一个矢量⏩，在每个维度方向都有分量🌃，所以要描述动量p还得用3个数字🍷：p1⛩，p2和p3🌺，分别表示它在3个方向上的速度🎙。总而言之🍖，要完全描述一个物理质点在t时刻的状态🏽，我们一共要用到6个变量🏾。而我们在前面已经看到了🐭，这6个变量可以用6维空间中的一个点来概括🎨，所以用6维空间中的一个点🌩，我们可以描述1个普通物理粒子的经典行为♎。我们这个存心构造出来的高维空间就是系统的相空间🏥。

　　假如一个系统由两个粒子组成🏺，那么在每个时刻t这个系统则必须由12个变量来描述了🐆。但同样⛄，我们可以用12维空间中的一个点来代替它⏪。对于一些宏观物体🏛，比如一只猫🌂，它所包含的粒子可就太多了🐫，假设有n个吧🏯，不过这不是一个本质问题🍁，我们仍然可以用一个6n维相空间中的质点来描述它🐖。这样一来🍕，一只猫在任意一段时期内的活动其实都可以等价为6n空间中一个点的运动（假定组成猫的粒子数目不变）🍥。我们这样做并不是吃饱了饭太闲的缘故🌳，而是因为在数学上🍛，描述一个点的运动🐮，哪怕是6n维空间中的一个点🌝，也要比描述普通空间中的一只猫来得方便🎮。在经典物理中♎，对于这样一个代表了整个系统的相空间中的点🌻，我们可以用所谓的哈密顿方程去描述🍓，并得出许多有益的结论🎚。

　　——部分选自曹天元《量子物理史话》

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